​图论及其应用课后答案(图论及其应用北京邮电大学课后答案)

图论及其应用课后答案(图论及其应用北京邮电大学课后答案)

图论是研究图（Graph）及其在各个领域中的应用的数学学科。其应用十分广泛，例如网络流、最短路、路径规划、图像处理等。图论在计算机科学领域也有重要应用，如网页排名算法PageRank、社交网络分析等。掌握图的基本概念和算法对于学习和应用这些应用非常重要。

大约12年时间，母亲刘小凤在家教了谢炎廷小学、初中、高中的全部课程。新京报记者王瑞锋 摄

有些人生来就与众不同。

谢炎廷身上的不同是显而易见的：他的双臂总是不由自主地弯曲，几根手指无法控制地捏在一起，走路只能踮着脚尖一上一下，十分努力才能说出一段完整的话，嘴角习惯性上扬，使他看起来一直保持着微笑，用母亲刘小凤的话形容，是“一只笑得开了口的柿子。”

他是一名脑瘫患者，打小就不能控制自己的身体，不能正常走路、说话、写字，不能跟普通人一样去学校上学，小学、初中、高中的课程，只能在家人的帮助下自学。

高中课程自学完后，谢炎廷对数学产生了浓厚兴趣。2011年，渴盼读大学的他试着走进兰州大学的校园，在数学与统计学院的课堂上旁听数学，一听就是8年。

家人和老师成了他的拐杖和扶梯，在他们的帮助下，谢炎廷顺利完成了本科、硕士论文答辩，并在国际学术期刊发表了两篇学术论文。

如今，谢炎廷27岁了，正在兰州大学数学与统计学院旁听博士课程，他成为一个励志传奇，因自强不息而变得独树一帜。

9月17日，兰州大学建校110周年校庆典礼上，兰大校长严纯华授予谢炎廷“荣誉研究生”称号，称赞他“用精神和毅力感染着师生、用坚持和奋斗奉献着学校、用执着和笑容感动着社会。”

2019年9月17日，兰州大学建校110周年校庆典礼上，校长严纯华授予谢炎廷“荣誉研究生”称号，并为他佩戴校徽。图片来自兰州大学新闻网

“爱就那么多，我不想分出去”

谢炎廷的家紧挨着兰州大学城关校区，这是为了方便旁听，母亲刘小凤卖掉了以前的旧房，专门在学校旁边买的小房子。

从家到学校，不到一公里的路程，别人走十几分钟，谢炎廷得提前50分钟出门。全英文的数学教材厚近千页，刘小凤怕太沉，拆成薄薄的两本，装进手提包，谢炎廷拎着就出门，踮着脚尖歪歪扭扭地走，这条路一走就是8年。

异样起初并无征兆。1992年9月，一个5斤多重的婴儿呱呱坠地，比预产期提前了1个多月，医生告诉母亲刘小凤，婴儿一切正常。

但在出生11个月之后，孩子发烧送医院，医生诊断，孩子患有脑瘫，让刘小凤有个心理准备。

刚查出儿子脑瘫时，有一段时间，刘小凤变得神经衰弱，吃不下饭，体重一下子降了快30斤，“不需要别人安慰，我自己调整，生活还得过，还得好好过。”她说。

按照当时的政策，只要孩子过了三周岁，她就可以再生一胎，但刘小凤放弃了，“一旦生了二胎，一家人肯定会偏爱正常的那个，他就会成为包袱，成为被放弃的那一个，这对他太不公平。爱就那么多，我不想分出去。”

一家人支持刘小凤的决定，把爱和耐心留给了这个小孩。差不多六岁时，谢炎廷还学不会走路，要搀着大人的胳膊才能勉强挪步。刘小凤狠狠心，把他带到学校土操场，让他自己练习走，“他自己不走，我转身就走。”

磕磕绊绊的童年里，刘小凤试图让孩子明白，跟人正常交往，不要自卑。偶有投来异样的目光，刘小凤并不在意，“有人看到孩子吓得躲开，我就跟别人说，你可真得躲着点，他走路不利索，万一倒了砸到你。”

9月24日晚，谢炎廷在卧室里用电脑写论文。新京报记者王瑞锋 摄

唯独担心的是上学，谢炎廷说话不利索，手握不住笔，学校很难接收这样的学生。只剩下一条路，在家教孩子自学。刘小凤上过中专、大专，又在中国传媒大学函授本科，爸爸是兰州大学医学院毕业，爷爷是上世纪50年代物理专业的大学生。

不是每个脑瘫孩子都能走进校园，刘小凤相信，爱是改变的原动力。

不必可怜，但能心生恻隐

课程表是从小区学生的手里抄的，课时一节课50分钟，课间休息10分钟，教科书是从教育书店买的，直接从小学二年级开始，语文、数学、英语、历史、地理……门门不落，连音乐书也买来，让孩子翻着玩。大约四年级的时候，2002年，刘小凤买来一台电脑，让儿子通过网校听课。

“学生放寒暑假，我们也放寒暑假，也给他布置寒暑假作业，他写的字我们不认识，但还是让他写作业。”刘小凤说。2008年，儿子自学到高中这一年，爱人因病去世，刘小凤再没心情教儿子，让他自学高中课程，有问题跟爷爷讨论。

一家人欣慰的是，谢炎廷的接受能力特别强，偏爱理科，数学一教就会，能列方程式解应用题。

2011年，经过大约12年的自学，谢炎廷磕磕绊绊完成了小学、初中、高中的全部课程，正式“高中毕业”，但因为没考过试，谁也不知道他的学习成绩如何。别的孩子都在热火朝天地准备高考，谢炎廷告诉母亲，他也想参加高考。

刘小凤十分为难，“他毕竟跟别人不一样，不能想着干嘛就干嘛。” 谢炎廷写的字别人很难看懂，只能做选择题，用铅笔涂答题卡上的小方框也十分困难。

谢炎廷决定突击练习涂答题卡。他的右手绵软乏力，手腕和手臂近乎90度的夹角，只能用大拇指和食指夹住笔杆，再垫在中指上，在纸上涂出歪歪扭扭的形状，就这样练习了一周。

看到谢炎廷的坚持，刘小凤到招生办咨询，儿子最终以“社会青年”的身份参加了2011年兰州理科高考。

成绩喜忧参半。刘小凤说，所有科目的选择题总分是280分，谢炎廷考了262分，其中数学选择题是满分。但这个成绩，谢炎廷无法被任何一所大学录取。

刘小凤托朋友找到兰州大学数学与统计学院张和平院长，询问儿子可否旁听学习，不拿学位证和毕业证，“张院长很惜才，跟我们说，只要愿意学，随时欢迎。”

进校旁听，这是儿子第一次独立走出家门，刘小凤希望，遇见他的人没必要可怜他，但能心生恻隐，“恻隐之心，就是在他需要帮助的时候，不忍心转身离去。”

“给你和其他学生同等的爱，甚至更多”

在课堂上，谢炎廷遇到了那个对他不忍心转身离去的人——徐守军。

今年41岁的徐守军是兰州大学数学与统计学院的数学教授。他还记得，2011年9月初，他给大一新生上解析几何课，看到教室里坐着一个有点儿特殊的学生，不做笔记，只盯着黑板看。

“上数学课注意力必须十分集中，老师在黑板上板书，学生不停地记笔记，哪怕一走神，就听不懂了。”徐守军怀疑，光靠听，能不能听懂他的数学课。

谢炎廷记得，刚开始旁听时他非常紧张，加上占不上座位，只能坐在最后面，“反复看数学分析和高等代数，课程基本能听懂，但题不会做。”

慢慢接触徐守军才知道，这是一名身患脑瘫的旁听生，“对我来说，旁听只不过是多一把凳子，但对谢炎廷来说，他承受了残疾和旁听学习的双重压力，可能有点像以前农村看电影一样，别人在电影院里看，他只能趴窗户口看，但十分专注。”

徐守军和班上同学开始给予谢炎廷更多关注，不到一个月，班上专门给谢炎廷留座位，让他坐在第一排。徐守军跟他说，“我把你当成正式学生，给你和其他学生同等的爱，甚至更多。”

一节课50分钟，谢炎廷总是目不转睛地盯着黑板，师生两人学会了眼神交流——表情舒展，就意味着听懂了，眉头紧锁，表示还有疑惑。

课余时间，徐守军单独跟谢炎廷交流，或是把意思写到纸上，听他一字一顿地讲话，慢慢达成了默契。有时候两人一大早到图书馆，在纸上推导公式。旁听一段时间之后，徐守军告诉刘小凤，孩子能听懂就很不容易，得好好培养，不要放弃。

谢炎廷和导师徐守军在一起。受访者供图

徐守军在数学领域的研究方向是“图论与组合优化”，凡事喜欢求一个“最大值”，“比如我有十块钱，用来打车，可以增加我1个快乐感，而十块钱给低收入者能买一碗牛肉面和小菜，对低收入者来说，一碗面可能是一周的期盼，可以增加他10个快乐感，我把十块钱给低收入者，从社会角度考虑，总共增加了9个快乐感。”

优化理论时常照进现实。有时候环卫工人中午到学校食堂吃饭，只买两三个馒头，就着学校食堂的免费汤。徐守军就让女儿买些菜送给环卫工人，“既增加快乐感，又能保持环卫工的尊严。”

“同理，从社会角度考虑，我在谢炎廷身上花了一个小时，也许能给他妈妈节省十个小时，社会总资源就多出了九个小时。如果他不在这里学习，他妈妈就得专门抽更多的时间陪他。”徐守军说。

徐守军说，谢炎廷的毅力非常人所能坚持，师生的努力得到了回馈。2015年6月，谢炎廷完成了数学专业的近30门专业课和英语、政治公共课在内共计150多个学分的学习，其间“没有缺过一次课，包括英语口语课”，而且完成了本科毕业论文，“水平完全不低于我们正规的学生”。

又用了三年时间，2018年6月，谢炎廷完成硕士阶段学习并进行了硕士论文答辩。因为谢炎廷的语言很难细致阐述，徐守军让他把报告ppt做得足够详细，谢炎廷在台上用ppt讲解，徐守军在台下补充。最终，答辩委员会专家们一致通过，认为谢炎廷的硕士论文处于中上水平。“虽然没有毕业证、学位证，通过答辩，就意味着硕士毕业了。”徐守军说。

在徐守军的指导下，谢炎廷也取得了一定的学术成果。2014年，徐守军在组合数学课上提出一个研究课题，谢炎廷表现出浓厚的兴趣。只一年时间，就用了近500页打印纸，三年后，谢炎廷完成这一课题，论文发表在《澳大利亚组合学》学术期刊上。2019年4月，另一篇论文发表在国际SCI期刊《应用数学与计算》上。

谢炎廷旁听的8年，徐守军起初不是没有过担忧，身患残疾的孩子，又是旁听生，在课堂上磕了碰了，总归不好交代。不过后来，徐守军不以为意，有时课后大家自愿一起爬皋兰山，班上同学都会带上谢炎廷一起。

这名数学教授推出的结论是，“带着他，给他带来快乐的概率比受伤的概率大，为了孩子好，哪怕万一出了问题，怨在我头上，我也认了。”

“如果数学是无垠的星空，我就是星空下的追光者”

如今，谢炎廷继续拜在徐守军“门下”，旁听数学博士课程。

9月24日晚，谢炎廷在卧室里用电脑写一篇论文。他只能用左手滑动鼠标，左手的无名指敲击键盘字母，半个月时间，敲出了6页全英文论文。

就在一周前，9月17日，兰州大学110周年校庆典礼上，校长严纯华授予他“荣誉研究生”称号，“从今天开始，他不再是旁听生，而是跟我们所有的兰大学子一样，他是我们的孩子。”

兰州大学授予谢炎廷“荣誉研究生”的文件和奖状。新京报记者王瑞锋 摄

谢炎廷的卧室不大，只有12平方米，既是卧室又是书房，房间干净整洁，除了一张明黄色的床铺，还有一个书橱，满满当当，装满了各式各样的全英文数学书籍。

“数学是科学的科学， *** 的 *** ，是一个充满想象力的魔幻世界。”他满脸兴致介绍数学的魅力。

谢炎廷活在两个世界里。现实世界中，他言语乏力，步履蹒跚，上下楼梯都是艰难的挑战。而在数学的世界里，他想象丰富，逻辑缜密，思维敏捷，在数量、结构、变化、空间和信息之中探寻奥义。

“负一开根号，在现实生活中是找不到参照物的，等你学了复变函数、伽罗华理论，你要解方程，就会用到负一开根号，就会理解，数学真的很魔幻。”谢炎廷笑着说。

他同样喜欢看新闻，关心国家大事，热爱足球和篮球，听流行音乐。刘小凤不希望人们看到谢炎廷的第一印象是，这孩子真苦，“别人眼里说，你看他苦的，这娘俩水深火热，其实根本没有，他内心快乐着呢。就像走路都能撞树的数学家陈景润，旁人根本体会不到他的乐趣。”

理工学人的乐趣和浪漫，外人有时候确实难以理解。今年4月底，生物学家、中科院院士、西湖大学校长施一公到兰州大学做报告。

施一公说，不只是花前月下才叫浪漫，在做实验的时候，经历无数次的失败，一下子合成一个蛋白，这个蛋白是第一次合成，之前人类从没有过，这是一件多么浪漫的事情，“奋斗，是一种浪漫。”

谢炎廷用此激励自己，“数学也一样，证明一个猜想，试过好多 *** 都失败了，最后突然证明出来成为定理，这是一件多么浪漫的事情，就算证明失败了，起码说明这个 *** 是不行的，也是收获。”

“如果数学是无垠的星空，我就是星空下的追光者，可以看到漂亮的星光。”谢炎廷说。

关于未来，谢炎廷想继续做研究，徐守军希望能把他领“入门”，而刘小凤只希望他能开开心心地做件事情，水到渠成。

在数学中，一个弱的条件若能推导出强的结论，就是特别漂亮的证明。

对于刘小凤来说，无论谢炎廷怎样，那都是她“最漂亮的证明”。

文|新京报记者王瑞锋 编辑 | 胡杰 校对|刘军